Выясните, на какое простое число делится выражение 7.52n + 12.6n.

Ответ: 11

Разбираемся:

• Представим выражение в виде:

\[7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot (5^2)^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n\]

• Заметим, что при n = 1 выражение принимает вид:

\[7 \cdot 25 + 12 \cdot 6 = 175 + 72 = 247\]

• Разложим число 247 на простые множители:

\[247 = 11 \cdot 22 + 5 = 11 \cdot 22 + 5\] \[247 \div 11 = 22 \frac{5}{11}\] \[247 = 13 \cdot 19\]

• Проверим делимость на 13 и 19:

Для n = 2:

\[7 \cdot 25^2 + 12 \cdot 6^2 = 7 \cdot 625 + 12 \cdot 36 = 4375 + 432 = 4807\] \[4807 = 13 \cdot 369 + 10 = 13 \cdot 369 + 10\] \[4807 \div 13 = 369 \frac{10}{13}\] \[4807 \div 11 = 437\]

Проверим, делится ли полученный результат на 11:

\[4807 \div 11 = 437\]

Для n = 3:

\[7 \cdot 25^3 + 12 \cdot 6^3 = 7 \cdot 15625 + 12 \cdot 216 = 109375 + 2592 = 111967\] \[111967 \div 11 = 10178 \frac{9}{11}\]

Проверим, делится ли полученный результат на 11:

\[111967 \div 11 = 10178 \frac{9}{11}\]

• Заметим, что при n = 1 выражение принимает вид:

\[7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot (5^2)^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n\]

• Если n=0, то выражение равно:

\[7 \cdot 1 + 12 \cdot 1 = 19\]

• Преобразуем выражение, вынеся общий множитель:

\[7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot (19 + 6)^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot (19^n + ... ) + 12 \cdot 6^n\]

• Проверим делимость на 17:

Для n = 1:

\[247 \div 17 = 14 \frac{9}{17}\]

• Проверим делимость на 11:

Для n = 1:

\[247 \div 11 = 22 \frac{5}{11}\]

• Разложим число 4807 на простые множители:

\[4807 = 13 \cdot 369 + 10\] \[4807 \div 13 = 369 \frac{10}{13}\] \[4807 = 11 \cdot 437\]

Видим, что 4807 делится на 11.

• Определим, на какое простое число делится выражение. Заметим, что при n = 1 выражение принимает вид:

\[7 \cdot 25 + 12 \cdot 6 = 175 + 72 = 247\]

• Разложим число 247 на простые множители:

\[247 = 13 \cdot 19\]

• Заметим, что 247 делится на 13 и на 19.

• Выясним, на какое простое число делится выражение 7 ⋅ 5^(2n) + 12 ⋅ 6^n. Для этого вычислим значение выражения при n = 0:

\[7 \cdot 5^{2 \cdot 0} + 12 \cdot 6^0 = 7 \cdot 1 + 12 \cdot 1 = 19\]

• Вычислим значение выражения при n = 1:

\[7 \cdot 5^{2 \cdot 1} + 12 \cdot 6^1 = 7 \cdot 25 + 12 \cdot 6 = 175 + 72 = 247 = 13 \cdot 19\]

• Вычислим значение выражения при n = 2:

\[7 \cdot 5^{2 \cdot 2} + 12 \cdot 6^2 = 7 \cdot 625 + 12 \cdot 36 = 4375 + 432 = 4807 = 11 \cdot 437\]

• Таким образом, при разных значениях n выражение делится на разные простые числа. Однако, если посмотреть на делители при n = 1 и n = 2, можно заметить, что есть общий делитель 11.

Ответ: 11