687. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) (2x-6y=10, 8y=7-2x; 6) 3x-12=8y, 1,5x-4y = 6; в) у = 4x, x-8=-6y; 3-3y=4x, д) -8x=6y-6; г) x+y=5, 3x-2y=8; x+4y=5, e) x-y+3=0.

Ответ:

1. a) \[\begin{cases} 2x - 6y = 10, \\ 8y = 7 - 2x. \end{cases}\]
   Преобразуем второе уравнение: \[2x + 8y = 7\]
   Теперь у нас система:\[\begin{cases} 2x - 6y = 10, \\ 2x + 8y = 7. \end{cases}\]
   Выразим x из первого уравнения: \[2x = 6y + 10 \Rightarrow x = 3y + 5\]
   Подставим это во второе уравнение: \[2(3y + 5) + 8y = 7 \Rightarrow 6y + 10 + 8y = 7 \Rightarrow 14y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{14}\]
   Теперь найдем x: \[x = 3(-\frac{3}{14}) + 5 = -\frac{9}{14} + 5 = \frac{-9 + 70}{14} = \frac{61}{14}\]
   Система имеет одно решение.
2. б) \[\begin{cases} 3x - 12 = 8y, \\ 1.5x - 4y = 6. \end{cases}\]
   Преобразуем первое уравнение: \[3x - 8y = 12\]
   Второе уравнение: \[1.5x - 4y = 6\]
   Умножим второе уравнение на 2: \[3x - 8y = 12\]
   Теперь у нас система:\[\begin{cases} 3x - 8y = 12, \\ 3x - 8y = 12. \end{cases}\]
   Оба уравнения одинаковы, значит, система имеет бесконечно много решений.
3. в) \[\begin{cases} y = 4x, \\ x - 8 = -6y. \end{cases}\]
   Подставим y из первого уравнения во второе: \[x - 8 = -6(4x) \Rightarrow x - 8 = -24x \Rightarrow 25x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{25}\]
   Найдем y: \[y = 4(\frac{8}{25}) = \frac{32}{25}\]
   Система имеет одно решение.
4. д) \[\begin{cases} 3 - 3y = 4x, \\ -8x = 6y - 6. \end{cases}\]
   Преобразуем первое уравнение: \[4x + 3y = 3\]
   Преобразуем второе уравнение: \[-8x - 6y = -6\]
   Умножим первое уравнение на -2: \[-8x - 6y = -6\]
   Теперь у нас система:\[\begin{cases} -8x - 6y = -6, \\ -8x - 6y = -6. \end{cases}\]
   Оба уравнения одинаковы, значит, система имеет бесконечно много решений.
5. г) \[\begin{cases} x + y = 5, \\ 3x - 2y = 8. \end{cases}\]
   Выразим x из первого уравнения: \[x = 5 - y\]
   Подставим это во второе уравнение: \[3(5 - y) - 2y = 8 \Rightarrow 15 - 3y - 2y = 8 \Rightarrow -5y = -7 \Rightarrow y = \frac{7}{5}\]
   Теперь найдем x: \[x = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25 - 7}{5} = \frac{18}{5}\]
   Система имеет одно решение.
6. e) \[\begin{cases} x + 4y = 5, \\ x - y + 3 = 0. \end{cases}\]
   Выразим x из второго уравнения: \[x = y - 3\]
   Подставим это в первое уравнение: \[(y - 3) + 4y = 5 \Rightarrow 5y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{5}\]
   Теперь найдем x: \[x = \frac{8}{5} - 3 = \frac{8 - 15}{5} = -\frac{7}{5}\]
   Система имеет одно решение.

Ответ: