Высоты треугольника пересекаются в точке О. Величина угла \(\angle\) BAC = 68°, величина угла \(\angle\) ABC = 82°. Определи угол \(\angle\) AOB.

Решение:

1. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Найдём угол \(\angle\) ACB:
   \( \angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC \)
   \( \angle ACB = 180° - 68° - 82° = 180° - 150° = 30° \)
2. BD и AE — высоты треугольника, так как они проведены из вершин перпендикулярно к противоположным сторонам. Точка O — точка пересечения высот (ортоцентр).
3. Рассмотрим треугольник AOD. \( \angle DAO = \angle BAC = 68° \), \( \angle ADO = 90° \) (так как BD — высота).
4. Угол \(\angle\) AOD — внешний угол треугольника AOE. В треугольнике AOE \( \angle OAE = \angle BAC = 68° \), \( \angle AEO = 90° \) (так как AE — высота).
   \( \angle AOE = 180° - 90° - 68° = 22° \)
5. Углы \(\angle\) AOD и \(\angle\) AOE — смежные, их сумма равна 180°.
   \( \angle AOD = 180° - \angle AOE = 180° - 22° = 158° \).
6. Углы \(\angle\) AOB и \(\angle\) AOD — смежные.
   \( \angle AOB = 180° - \angle AOD = 180° - 158° = 22° \).
   *
   Альтернативный способ:
   
7. В четырёхугольнике CDOE, \( \angle CDO = 90° \) и \( \angle CEO = 90° \). Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
   \( \angle DOE = 360° - 90° - 90° - \angle ACB \)
   \( \angle DOE = 360° - 180° - 30° = 150° \)
8. Углы \(\angle\) AOB и \(\angle\) DOE — вертикальные.
   \( \angle AOB = \angle DOE = 150° \).

Ответ: 150°.