226. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке Н. Докажите, что если АН = СН, то треугольник АВС равнобедренный.

Разбираемся:

1. Пусть BB1 и AA1 - высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H.
2. Дано: AH = CH.
3. Нужно доказать, что треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC.
4. Рассмотрим треугольники AB1H и CB1H:

• AH = CH (по условию).
• Углы AHB1 и CHB1 равны (как вертикальные).
• HB1 - общая сторона.

Следовательно, треугольники AB1H и CB1H равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что углы AB1H и CB1H равны. Обозначим их как α.

Теперь рассмотрим треугольники AA1B и CC1B:

• Угол AA1B = углу CC1B = 90 градусов (так как AA1 и CC1 - высоты).
• Угол ABA1 = углу CBC1 = α (доказано выше).
• BB1 - общая сторона.

Следовательно, треугольники AA1B и CC1B равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что AB = BC.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Если AH = CH, то треугольник ABC равнобедренный.

Проверка за 10 секунд: Ищи равные треугольники, чтобы доказать равенство сторон!

Доп. профит: База. Помни признаки равенства треугольников - это основа для решения геометрических задач!