Контрольные задания
Вопрос:

Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, пересекаются в точке Н, причем ∠АНВ = 120 а биссектрисы, проведенные из вершин В и С, в точке К, причем ∠ВКС = 130 Найдите угол АВС.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

  1. Пусть \( \angle ABC = \beta \).
  2. В треугольнике \( Δ ABH \) углы \( Δ AHB = 120^{\circ} \), \( Δ BAH = 90^{\circ} - Γ \) и \( Δ ABH = 90^{\circ} - Α \).
  3. \( Δ AHB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - Γ) - (90^{\circ} - Α) = Α + Γ \).
  4. \( Α + Γ = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  5. Так как \( Α + Β + Γ = 180^{\circ} \), то \( Β = 180^{\circ} - (Α + Γ) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  6. \( Β = 120^{\circ} \) — тупой угол. Но в условии сказано, что треугольник остроугольный. Значит, \( Α, Γ \) — углы остроугольного треугольника.
  7. Пусть \( BM \) и \( CN \) — биссектрисы углов \( Β \) и \( Γ \) соответственно. \( BM \) и \( CN \) пересекаются в точке \( K \).
  8. В \( Δ BKC \) \( Β KC = 130^{\circ} \).
  9. \( Β KC = 180^{\circ} - Β/2 - Γ/2 \).
  10. \( 130^{\circ} = 180^{\circ} - (Β + Γ)/2 \).
  11. \( (Β + Γ)/2 = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).
  12. \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  13. \( Α = 180^{\circ} - (Β + Γ) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  14. \( Α = 80^{\circ} \) — острый угол.
  15. \( Β = 180^{\circ} - (Α + Γ) \).
  16. \( Γ = 180^{\circ} - (Α + Β) \).
  17. Из \( Α + Γ = 60^{\circ} \) следует, что \( Γ = 60^{\circ} - Α \).
  18. Подставим \( Α = 80^{\circ} \) в \( Α + Γ = 60^{\circ} \): \( 80^{\circ} + Γ = 60^{\circ} \), что невозможно, так как \( Γ \) не может быть отрицательным.
  19. Возможно, в условии задачи опечатка, и \( Δ AHB = 60^{\circ} \). Тогда \( Α + Γ = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  20. \( Β = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  21. \( Β/2 = 30^{\circ} \). \( Γ/2 = (180^{\circ} - Α - Β)/2 = (180^{\circ} - Α - 60^{\circ})/2 = (120^{\circ} - Α)/2 = 60^{\circ} - Α/2 \).
  22. \( Β KC = 180^{\circ} - Β/2 - Γ/2 = 180^{\circ} - 30^{\circ} - (60^{\circ} - Α/2) = 90^{\circ} + Α/2 \).
  23. \( 130^{\circ} = 90^{\circ} + Α/2 \).
  24. \( Α/2 = 40^{\circ} \), \( Α = 80^{\circ} \).
  25. \( Γ = 120^{\circ} - Α = 120^{\circ} - 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
  26. \( Α=80^{\circ}, Β=60^{\circ}, Γ=40^{\circ} \). Это остроугольный треугольник.
  27. \( Β = 60^{\circ} \).
  28. Если \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — верно, тогда \( Α + Γ = 60^{\circ} \) и \( Β = 120^{\circ} \), но треугольник остроугольный.
  29. Рассмотрим случай, если \( H \) — точка пересечения высот, а \( K \) — точка пересечения биссектрис.
  30. \( Δ ABC \) — остроугольный.
  31. \( Δ AHB = 120^{\circ} \). В \( Δ ABM \) (где \( CM \) — высота), \( Δ AMC = 90^{\circ} \). \( Δ AMB = 90^{\circ} \). \( Δ ABH \) — прямоугольный треугольник, если \( AH \) и \( BH \) — высоты.
  32. В \( Δ AHB \): \( Δ AHB = 180^{\circ} - (Δ HAB) - (Δ HBA) \). \( Δ HAB = 90^{\circ} - Γ \), \( Δ HBA = 90^{\circ} - Α \). \( 120^{\circ} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - Γ) - (90^{\circ} - Α) = Α + Γ \).
  33. \( Α + Γ = 60^{\circ} \).
  34. \( Β = 180^{\circ} - (Α + Γ) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Угол \( Β \) тупой, что противоречит условию.
  35. Предположим, что \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — угол между высотами.
  36. \( Δ BKC = 130^{\circ} \) — угол между биссектрисами. \( BK \) — биссектриса \( Β \), \( CK \) — биссектриса \( Γ \).
  37. В \( Δ BKC \): \( Β/2 + Γ/2 + 130^{\circ} = 180^{\circ} \) \( Β/2 + Γ/2 = 50^{\circ} \) \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  38. \( Α = 180^{\circ} - (Β + Γ) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  39. Теперь проверим условие про высоты. \( Α + Γ = 60^{\circ} \) (если \( Δ AHB = 120^{\circ} \)).
  40. \( Γ = 100^{\circ} - Β \).
  41. \( Α + 100^{\circ} - Β = 60^{\circ} \) \( 80^{\circ} + 100^{\circ} - Β = 60^{\circ} \) \( 180^{\circ} - Β = 60^{\circ} \) \( Β = 120^{\circ} \).
  42. Получаем противоречие: \( Β = 120^{\circ} \) из условия про высоты, и \( Β \) является одним из углов остроугольного треугольника.
  43. В условии задачи, скорее всего, опечатка. Если бы \( Δ AHB = 60^{\circ} \), то \( Α + Γ = 120^{\circ} \) и \( Β = 60^{\circ} \).
  44. Используем \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  45. \( Γ = 100^{\circ} - Β \).
  46. \( Α = 180^{\circ} - (Β + Γ) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  47. \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  48. \( Γ = 100^{\circ} - Β \).
  49. \( Α + Γ = 120^{\circ} \) (если \( Δ AHB = 60^{\circ} \)).
  50. \( Α = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  51. \( Γ = 120^{\circ} - Α = 120^{\circ} - 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
  52. \( Β = 180^{\circ} - (Α + Γ) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  53. Проверим \( Β + Γ = 100^{\circ} \). \( 60^{\circ} + 40^{\circ} = 100^{\circ} \). Это верно.
  54. Значит, если \( Δ AHB = 60^{\circ} \), то \( Β = 60^{\circ} \).
  55. Если \( Δ AHB = 120^{\circ} \), то \( Α + Γ = 60^{\circ} \).
  56. \( Β = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  57. \( Β + Γ = 100^{\circ} \) \( 120^{\circ} + Γ = 100^{\circ} \) \( Γ = -20^{\circ} \), что невозможно.
  58. Возможно, \( Δ AHB \) — это угол между высотами, проведенными из \( A \) и \( B \), а \( Δ BKC \) — угол между биссектрисами, проведенными из \( B \) и \( C \).
  59. \( Δ AHB = 180^{\circ} - Γ = 120^{\circ} \) (в некоторых случаях, если \( C \) — вершина прямого угла).
  60. Для остроугольного треугольника: \( Δ AHB = 180^{\circ} - Γ \) не всегда верно. \( Δ AHB = 180^{\circ} - (Δ CAH) - (Δ CBH) = 180^{\circ} - (90^{\circ} - Β) - (90^{\circ} - Α) = Α + Β \).
  61. \( Α + Β = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  62. \( Γ = 180^{\circ} - (Α + Β) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). \( Γ \) тупой, противоречие.
  63. Возможно, \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — это угол между высотой \( CD \) и высотой \( AE \). \( Δ AEB \) — прямоугольный.
  64. Рассмотрим \( Δ ABH \). Углы \( Δ HAB \) и \( Δ HBA \) — острые.
  65. \( Δ BKC = 130^{\circ} \). \( BK \) — биссектриса \( Β \), \( CK \) — биссектриса \( Γ \).
  66. \( Δ BKC = 180^{\circ} - Β/2 - Γ/2 \).
  67. \( 130^{\circ} = 180^{\circ} - (Β + Γ)/2 \). \( (Β + Γ)/2 = 50^{\circ} \). \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  68. \( Α = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  69. Теперь используем \( Δ AHB = 120^{\circ} \). \( H \) — точка пересечения высот. \( Δ ABH \) — треугольник.
  70. Пусть \( CD \) — высота из \( C \) на \( AB \), \( AE \) — высота из \( A \) на \( BC \), \( BF \) — высота из \( B \) на \( AC \). \( H = CD ∩ AE ∩ BF \).
  71. В \( Δ ABH \) углы равны \( Δ HAB \), \( Δ HBA \), \( Δ AHB \). \( Δ HAB = 90^{\circ} - Γ \), \( Δ HBA = 90^{\circ} - Α \).
  72. \( Δ AHB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - Γ) - (90^{\circ} - Α) = Α + Γ \).
  73. \( Α + Γ = 120^{\circ} \).
  74. \( Β = 180^{\circ} - (Α + Γ) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  75. У нас два разных значения для \( Α + Γ \): \( 60^{\circ} \) (из \( Β=120^{\circ} \)) и \( 100^{\circ} \) (из \( Β+Γ = 100^{\circ} \)).
  76. Примем \( Α = 80^{\circ} \), \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  77. Пусть \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — это угол между высотами. \( Α + Γ = 60^{\circ} \).
  78. \( Α = 80^{\circ} \). \( 80^{\circ} + Γ = 60^{\circ} \), \( Γ = -20^{\circ} \) — невозможно.
  79. Сделаем вывод, что в условии задачи ошибка. Если предположить, что \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — это угол между высотами, то \( Α + Γ = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  80. Из условия \( Δ BKC = 130^{\circ} \) имеем \( Β/2 + Γ/2 = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \), то есть \( Β + Γ = 100^{\circ} \).
  81. \( Α = 180^{\circ} - (Β + Γ) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
  82. Тогда \( Γ = 60^{\circ} - Α = 60^{\circ} - 80^{\circ} = -20^{\circ} \), что невозможно.
  83. Если же \( Δ AHB = 120^{\circ} \) — это угол при вершине \( H \), то \( Α + Γ = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) — это если \( Δ HAB = 90 - Γ \) и \( Δ HBA = 90 - Α \).
  84. \( Β = 180 - (Α + Γ) = 180 - 60 = 120^{\circ} \).
  85. Но дан остроугольный треугольник.
  86. Будем считать, что \( Δ AHB = 180 - Γ \) (тупой угол между высотами). \( 120 = 180 - Γ \) \( Γ = 60^{\circ} \).
  87. \( Β + Γ = 100^{\circ} \) \( Β + 60^{\circ} = 100^{\circ} \) \( Β = 40^{\circ} \).
  88. \( Α = 180 - (40 + 60) = 80^{\circ} \).
  89. \( Α = 80^{\circ}, Β = 40^{\circ}, Γ = 60^{\circ} \). Треугольник остроугольный.
  90. \( Β = 40^{\circ} \).
  91. Проверка: \( Β/2 + Γ/2 = 40/2 + 60/2 = 20 + 30 = 50 \). \( Δ BKC = 180 - 50 = 130^{\circ} \). Верно.
  92. \( Δ AHB = 180 - Γ = 180 - 60 = 120^{\circ} \). Верно.
  93. \( Α = 80^{\circ} \).

Ответ: 80.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание