Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, площади которых равны 4 см² и 16 см². Найдите гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$. Проведем высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$. Тогда $$CD$$ делит треугольник $$ABC$$ на два треугольника: $$ACD$$ и $$BCD$$. Обозначим площади этих треугольников $$S_{ACD} = 4$$ см$$^2$$ и $$S_{BCD} = 16$$ см$$^2$$.

Обозначим $$AD = x$$ и $$DB = y$$. Тогда гипотенуза $$AB = x + y$$.

Высота $$CD = h$$. Тогда площади треугольников $$ACD$$ и $$BCD$$ можно выразить как:

$$
S_{ACD} = \frac{1}{2} xh = 4
$$
$$
S_{BCD} = \frac{1}{2} yh = 16
$$

Из этих уравнений можно выразить $$x$$ и $$y$$ через $$h$$:

$$
x = \frac{8}{h}
$$
$$
y = \frac{32}{h}
$$

Поскольку $$CD$$ - высота, проведенная к гипотенузе, то выполняется свойство $$CD^2 = AD \cdot DB$$, то есть $$h^2 = xy$$. Подставим выражения для $$x$$ и $$y$$:

$$
h^2 = \frac{8}{h} \cdot \frac{32}{h} = \frac{256}{h^2}
$$

Отсюда $$h^4 = 256$$, следовательно, $$h = \sqrt[4]{256} = 4$$ см.

Теперь найдем $$x$$ и $$y$$:

$$
x = \frac{8}{4} = 2
$$
$$
y = \frac{32}{4} = 8
$$

Тогда гипотенуза $$AB = x + y = 2 + 8 = 10$$ см.

Ответ: 10 см