Высота, проведённая из прямого угла треугольника GHT, равна 21. Найди гипотенузу треугольника GHT, если один из его катетов равен 35.

Пусть дан прямоугольный треугольник GHT с прямым углом H. Обозначим катеты как GH = 35 и HT = x. Высота, проведённая из вершины прямого угла H к гипотенузе GT, равна 21. Обозначим основание этой высоты как точку O. Тогда HO = 21. Площадь треугольника GHT можно вычислить двумя способами: 1. Как половину произведения катетов: (S = \frac{1}{2} \cdot GH \cdot HT = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot x = 17.5x) 2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: (S = \frac{1}{2} \cdot GT \cdot HO = \frac{1}{2} \cdot GT \cdot 21 = 10.5GT) Приравняем оба выражения для площади: (17.5x = 10.5GT), откуда (GT = \frac{17.5x}{10.5} = \frac{5x}{3}). По теореме Пифагора для треугольника GHT имеем: (GH^2 + HT^2 = GT^2), то есть (35^2 + x^2 = (\frac{5x}{3})^2). Упростим уравнение: (1225 + x^2 = \frac{25x^2}{9}). Умножим обе части на 9: (11025 + 9x^2 = 25x^2). Перенесём всё в одну сторону: (16x^2 = 11025). Разделим обе части на 16: (x^2 = \frac{11025}{16}). Извлечём квадратный корень: (x = \sqrt{\frac{11025}{16}} = \frac{105}{4} = 26.25). Теперь найдём гипотенузу GT: (GT = \frac{5x}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{105}{4} = \frac{525}{12} = \frac{175}{4} = 43.75). Ответ: 43.75