Высота правильной треугольной пирамиды равна $$\sqrt{\frac{11}{3}}$$, а радиус описанного около пирамиды шара равен $$\frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$$. Найти длину апофемы.

Решение:

Пусть высота пирамиды равна $$H = \sqrt{\frac{11}{3}}$$, а радиус описанной сферы равен $$R = \frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$$.

Для правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу, справедлива формула:

$$R = \frac{a^2 + H^2}{2H}$$, где $$a$$ — сторона основания, $$H$$ — высота пирамиды.

Из этой формулы выразим сторону основания $$a$$:

$$2RH = a^2 + H^2 \implies a^2 = 2RH - H^2$$

Подставим известные значения $$R$$ и $$H$$:

$$a^2 = 2 \cdot \frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}} \cdot \sqrt{\frac{11}{3}} - \left(\sqrt{\frac{11}{3}}\right)^2$$

$$a^2 = 2 \cdot \frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} - \frac{11}{3}$$

$$a^2 = 2 \cdot 2.5 - \frac{11}{3} = 5 - \frac{11}{3} = \frac{15 - 11}{3} = \frac{4}{3}$$

$$a = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Апофема ($$h$$) правильной треугольной пирамиды связана с высотой ($$H$$) и стороной основания ($$a$$) соотношением:

$$h^2 = H^2 + r^2$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности в основание.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $$r$$ равен трети радиуса описанной окружности:

$$r = \frac{1}{3} R_{осн}$$, где $$R_{осн}$$ — радиус описанной окружности в основании.

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $$a$$ равен:

$$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

$$R_{осн} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$$

$$r = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$$

Теперь найдём апофему:

$$h^2 = \left(\sqrt{\frac{11}{3}}\right)^2 + \left(\frac{2}{9}\right)^2$$

$$h^2 = \frac{11}{3} + \frac{4}{81} = \frac{11 \cdot 27}{81} + \frac{4}{81} = \frac{297 + 4}{81} = \frac{301}{81}$$

$$h = \sqrt{\frac{301}{81}} = \frac{\sqrt{301}}{9}$$

Проверка:

Формула для радиуса описанной сферы правильной треугольной пирамиды:

$$R = \frac{a^2+H^2}{2H}$$

$$R = \frac{\frac{4}{3} + \frac{11}{3}}{2\sqrt{\frac{11}{3}}} = \frac{\frac{15}{3}}{2\sqrt{\frac{11}{3}}} = \frac{5}{2\sqrt{\frac{11}{3}}} = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{3}{11}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{11}}{2\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{33}}{22}$$

По условию $$R = \frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{33}}{22}$$. Значения совпадают.

Ответ: $$\frac{\sqrt{301}}{9}$$.