№3 Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ длинной 9 см отрезок AD, равный 4 см. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику ACD, и найдите высоту АС.

Для решения этой задачи нам потребуется знание признаков подобия треугольников и теоремы Пифагора. 1. Анализ условия: - \(\triangle ABC\) - прямоугольный треугольник с прямым углом \(\angle C\). - CD - высота, опущенная на гипотенузу AB. - AD = 4 см, AB = 9 см. - Необходимо доказать подобие треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACD\), а также найти высоту AC. 2. Доказательство подобия: - Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACD\). - У них есть общий угол \(\angle A\). - \(\angle ACB = 90^\circ\) (по условию), и \(\angle ADC = 90^\circ\) (так как CD - высота). - Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\) по двум углам (первый признак подобия). 3. Нахождение длины отрезка DB: - DB = AB - AD = 9 - 4 = 5 см. 4. Использование подобия для нахождения AC: - Из подобия треугольников \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\) следует пропорция: $$\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$$ - Подставляем известные значения: $$\frac{AC}{4} = \frac{9}{AC}$$ - Отсюда: $$AC^2 = 4 \cdot 9 = 36$$ - $$AC = \sqrt{36} = 6$$ см. Ответ: AC = 6 см, \(\triangle ABC \sim \triangle ACD\) доказано