Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 см, ∠ BAD = 60°.

Question

Accepted Answer

Высота BD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ABD и CBD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

По условию \( \angle BAD = 60^{\circ} \).
В прямоугольном треугольнике \( \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB} \) и \( \cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB} \).
Найдём высоту BD: \( BD = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 4\sqrt{6} \cdot \sin(60^{\circ}) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
Найдём отрезок AD: \( AD = AB \cdot \cos(\angle BAD) = 4\sqrt{6} \cdot \cos(60^{\circ}) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{6} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD:

Найдём сторону AC: \( AC = AD + CD = 2\sqrt{6} + 3 \) см.
В прямоугольном треугольнике CBD по теореме Пифагора: \( BC^2 = BD^2 + CD^2 \).
Подставим найденные значения: \( BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 = (36 \cdot 2) + 9 = 72 + 9 = 81 \)
Извлечём квадратный корень: \( BC = \sqrt{81} = 9 \) см.

Ответ: BC = 9 см.