5. Вычислитель

Задача: На доске написаны числа $$1, 2^2, 3^2, ... 101^2$$. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. Определи наименьшее значение, которое Аня сможет получить. Решение: Заметим, что каждый раз, когда Аня стирает два числа и записывает их разность, четность суммы всех чисел на доске не меняется. Изначально сумма чисел на доске равна: $$S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 101^2 = \sum_{n=1}^{101} n^2 = \frac{101(101+1)(2*101+1)}{6} = \frac{101 * 102 * 203}{6} = 101 * 17 * 203 = 348551$$ Так как $$S = 348551$$ - нечетное число, то и последнее число, которое останется на доске, должно быть нечетным. Аня стирает два числа $$a$$ и $$b$$ и записывает $$|a-b|$$. Если $$a$$ и $$b$$ оба четные или оба нечетные, то $$a-b$$ четное число. Если одно из чисел четное, а другое нечетное, то $$a-b$$ нечетное число. Чтобы получить наименьшее значение, необходимо, чтобы последнее число было как можно меньше. Так как оно должно быть нечетным, то наименьшее возможное значение - 1. Докажем, что Аня всегда может получить 1. Если на доске есть два последовательных числа $$n^2$$ и $$(n+1)^2$$, то их разность равна: $$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1$$. Если $$2n+1 = 1$$, то $$n = 0$$. Но на доске нет $$0$$. Но мы можем сделать так, чтобы на доске осталось всего два числа: $$x$$ и $$y$$. Тогда Аня запишет $$|x-y|$$. Если $$x-y = 1$$, то мы нашли наименьшее значение. Предположим, что мы можем получить числа $$1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2$$. Если у нас останутся числа 1 и 4. Тогда 4-1 = 3. Осталось 3 и 9. 9-3 = 6. Осталось 6 и 16. 16-6 = 10. Рассмотрим числа $$1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25,...101^2 = 10201$$. Заметим, что числа $$n^2$$ и $$(n+1)^2$$ всегда разной четности, если $$n$$ и $$n+1$$ разной четности. Если на доске осталось два числа $$a$$ и $$b$$ разной четности, то их разность нечетная. Аня может прийти к двум числам, разность которых равна 1. Например, если остается число 2 и 3, то Аня стирает эти числа и пишет |2-3| = 1. Ответ: 1