4. Вычислите. a) cos(arctg2) b) sin(arctg7) c) cos(arcsin d) ctg(arctg5) e) sin(arctg11) f) f) sina sin arccos g) cos(arcctg (-4)) h) ctg(arcsin(-0,9)) i) 1) sin(arccos(-)

Ответ:

a) cos(arctg2)

• Пусть arctan(2) = α, тогда tg(α) = 2.
• Найдём cos(α), используя основное тригонометрическое тождество:
• \( 1 + tg^2(α) = \frac{1}{cos^2(α)} \)
• \( cos^2(α) = \frac{1}{1 + tg^2(α)} \)
• \( cos^2(α) = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} \)
• \( cos(α) = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \) (так как arctan(2) лежит в пределах от -π/2 до π/2, косинус положителен)

Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

b) sin(arctg7)

• Пусть arctan(7) = α, тогда tg(α) = 7.
• Найдём sin(α), используя tg(α) = sin(α) / cos(α) и sin²(α) + cos²(α) = 1
• \( tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} \)
• \( sin(α) = tg(α) \cdot cos(α) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) \cdot cos^2(α) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) \cdot (1 - sin^2(α)) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) - tg^2(α) \cdot sin^2(α) \)
• \( sin^2(α) + tg^2(α) \cdot sin^2(α) = tg^2(α) \)
• \( sin^2(α) (1 + tg^2(α)) = tg^2(α) \)
• \( sin^2(α) = \frac{tg^2(α)}{1 + tg^2(α)} \)
• \( sin^2(α) = \frac{7^2}{1 + 7^2} = \frac{49}{50} \)
• \( sin(α) = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \) (так как arctan(7) лежит в пределах от -π/2 до π/2, синус имеет тот же знак, что и тангенс, т.е. положителен)

Ответ: \(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)

c) cos(arcsin(\(-\frac{1}{4}\)))

• Пусть arcsin(\(-\frac{1}{4}\)) = α, тогда sin(α) = \(-\frac{1}{4}\).
• Найдём cos(α), используя основное тригонометрическое тождество:
• \( sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \)
• \( cos^2(α) = 1 - sin^2(α) \)
• \( cos^2(α) = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)
• \( cos(α) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \) (так как arcsin(-1/4) лежит в пределах от -π/2 до π/2, косинус положителен)

Ответ: \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)

d) ctg(arctg5)

• Пусть arctan(5) = α, тогда tg(α) = 5.
• Найдём ctg(α), используя ctg(α) = 1 / tg(α)
• \( ctg(α) = \frac{1}{tg(α)} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \(\frac{1}{5}\)

e) sin(arctg11)

• Пусть arctan(11) = α, тогда tg(α) = 11.
• Найдём sin(α), используя tg(α) = sin(α) / cos(α) и sin²(α) + cos²(α) = 1
• \( tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} \)
• \( sin(α) = tg(α) \cdot cos(α) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) \cdot cos^2(α) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) \cdot (1 - sin^2(α)) \)
• \( sin^2(α) = tg^2(α) - tg^2(α) \cdot sin^2(α) \)
• \( sin^2(α) + tg^2(α) \cdot sin^2(α) = tg^2(α) \)
• \( sin^2(α) (1 + tg^2(α)) = tg^2(α) \)
• \( sin^2(α) = \frac{tg^2(α)}{1 + tg^2(α)} \)
• \( sin^2(α) = \frac{11^2}{1 + 11^2} = \frac{121}{122} \)
• \( sin(α) = \frac{11}{\sqrt{122}} = \frac{11\sqrt{122}}{122} \) (так как arctan(11) лежит в пределах от -π/2 до π/2, синус имеет тот же знак, что и тангенс, т.е. положителен)

Ответ: \(\frac{11\sqrt{122}}{122}\)

f) sin(arccos(\(-\frac{1}{5}\)))

• Пусть arccos(\(-\frac{1}{5}\)) = α, тогда cos(α) = \(-\frac{1}{5}\).
• Найдём sin(α), используя основное тригонометрическое тождество:
• \( sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \)
• \( sin^2(α) = 1 - cos^2(α) \)
• \( sin^2(α) = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \)
• \( sin(α) = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) (так как arccos(-1/5) лежит в пределах от 0 до π, синус положителен)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

g) cos(arcctg(-4))

• Пусть arcctg(-4) = α, тогда ctg(α) = -4.
• Найдём cos(α), используя 1 + ctg²(α) = 1 / sin²(α) и sin²(α) + cos²(α) = 1
• \( ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)} \)
• \( cos(α) = ctg(α) \cdot sin(α) \)
• \( cos^2(α) = ctg^2(α) \cdot sin^2(α) \)
• \( cos^2(α) = ctg^2(α) \cdot (1 - cos^2(α)) \)
• \( cos^2(α) = ctg^2(α) - ctg^2(α) \cdot cos^2(α) \)
• \( cos^2(α) + ctg^2(α) \cdot cos^2(α) = ctg^2(α) \)
• \( cos^2(α) (1 + ctg^2(α)) = ctg^2(α) \)
• \( cos^2(α) = \frac{ctg^2(α)}{1 + ctg^2(α)} \)
• \( cos^2(α) = \frac{(-4)^2}{1 + (-4)^2} = \frac{16}{17} \)
• \( cos(α) = -\frac{4}{\sqrt{17}} = -\frac{4\sqrt{17}}{17} \) (так как arcctg(-4) лежит в пределах от π/2 до π, косинус отрицателен)

Ответ: \(-\frac{4\sqrt{17}}{17}\)

h) ctg(arcsin(-0,9))

• Пусть arcsin(-0,9) = α, тогда sin(α) = -0,9.
• Найдём ctg(α), используя sin²(α) + cos²(α) = 1 и ctg(α) = cos(α) / sin(α)
• \( cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (-0.9)^2 = 1 - 0.81 = 0.19 \)
• \( cos(α) = \sqrt{0.19} \) (знак косинуса зависит от четверти, в которой находится угол α. Поскольку arcsin(-0.9) лежит в пределах от -π/2 до 0, косинус положителен)
• \( ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)} = \frac{\sqrt{0.19}}{-0.9} = -\frac{\sqrt{0.19}}{0.9} = -\frac{\sqrt{19}}{9} \)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{19}}{9}\)

i) sin(arccos(\(-\frac{4}{7}\)))

• Пусть arccos(\(-\frac{4}{7}\)) = α, тогда cos(α) = \(-\frac{4}{7}\).
• Найдём sin(α), используя основное тригонометрическое тождество:
• \( sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \)
• \( sin^2(α) = 1 - cos^2(α) \)
• \( sin^2(α) = 1 - (-\frac{4}{7})^2 = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49} \)
• \( sin(α) = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7} \) (так как arccos(-4/7) лежит в пределах от 0 до π, синус положителен)

Ответ: \(\frac{\sqrt{33}}{7}\)

Ответ: