Вычислите: a) $$2-\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}\div 2+\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}$$ b) $$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$$ Вычислите: a) $$4+\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\div 4-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$$ b) $$3-\frac{3}{3-\frac{1}{1-\frac{1}{3}}}$$

Решение:

а) Разберем первое выражение:

Сначала упростим дроби в знаменателе:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Теперь подставим это значение в выражение:

$$2 - \frac{1}{\frac{3}{4}} \div 2 + \frac{1}{\frac{3}{4}} = 2 - \frac{4}{3} \div 2 + \frac{4}{3}$$

Выполним деление:

$$\frac{4}{3} \div 2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$$

Подставим результат:

$$2 - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{6}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6 - 2 + 4}{3} = \frac{8}{3}$$

Преобразуем в смешанную дробь:

$$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$

б) Разберем второе выражение:

Начнем с нижней дроби:

$$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Подставим это в выражение:

$$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}}$$

Снова упростим знаменатель:

$$1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$

Подставим это в выражение:

$$1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$$

Преобразуем в смешанную дробь:

$$\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$$

Рассмотрим вторую часть задания:

а) Разберем первое выражение:

Сначала упростим дроби в знаменателе:

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Теперь подставим это значение в выражение:

$$4 + \frac{1}{\frac{1}{6}} \div 4 - \frac{1}{\frac{1}{6}} = 4 + 6 \div 4 - 6$$

Выполним деление:

$$6 \div 4 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Подставим результат:

$$4 + \frac{3}{2} - 6$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{8}{2} + \frac{3}{2} - \frac{12}{2} = \frac{8 + 3 - 12}{2} = \frac{-1}{2}$$

Итак, $$-\frac{1}{2}$$

б) Разберем второе выражение:

Начнем с нижней дроби:

$$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Подставим это в выражение:

$$3 - \frac{3}{3 - \frac{1}{\frac{2}{3}}} = 3 - \frac{3}{3 - \frac{3}{2}}$$

Снова упростим знаменатель:

$$3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

Подставим это в выражение:

$$3 - \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 3 - 2 = 1$$

Итак, ответ:

а) $$2-\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}\div 2+\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = 2\frac{2}{3}$$

б) $$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}} = 1\frac{3}{5}$$

а) $$4+\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\div 4-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2}$$

б) $$3-\frac{3}{3-\frac{1}{1-\frac{1}{3}}} = 1$$