5.415. Вычислите: a) \(1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{8};\) b) \(2 \frac{3}{5} - \frac{5}{6};\) б) \(24 \frac{23}{6} - 12 \frac{5}{12};\) г) \(6 \frac{5}{8} + 12 \frac{1}{5};\)

Ответ: a) \(2 \frac{1}{8}\); б) \(1 \frac{23}{30}\); в) \(12 \frac{41}{12}\); г) \(18 \frac{33}{40}\)

1. a) Вычисление суммы дробей:

Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 8 будет 8.

• Преобразуем дроби:

\[\frac{2}{4} = \frac{2 \times 2}{4 \times 2} = \frac{4}{8}\]

• Теперь складываем:

\[1 + \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{4+3}{8} = 1 + \frac{7}{8} = 1 \frac{7}{8}\]

Но, кажется, в задании изначально была другая дробь. Проверим еще раз условие. Если там \(\frac{3}{5}\), то решаем так:

\[1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 + \frac{2+3}{5} = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2\]

Если же там \(\frac{3}{8}\), то решение будет следующим:

\[1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{7}{8} = 1\frac{7}{8}\]

Предположим, что в примере была опечатка, и дробь \(\frac{2}{4}\) должна была быть \(\frac{2}{8}\). В таком случае:

\[1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{5}{8} = 1\frac{5}{8}\]

Однако, если все так, как написано, то:

\[1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{7}{8} = 1\frac{7}{8}\]

• Финальный ответ:

\[1 \frac{7}{8} = \frac{1 \times 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}\]

\[\frac{15}{8} = 1.875\]

Итого: \(1 \frac{7}{8}\)

2. б) Вычисление разности дробей:

\[2 \frac{3}{5} - \frac{5}{6}\]

• Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\[2 \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}\]

• Общий знаменатель для 5 и 6 будет 30.

Преобразуем дроби:\[\frac{13}{5} = \frac{13 \times 6}{5 \times 6} = \frac{78}{30}\]

\[\frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}\]

• Теперь вычитаем:

\[\frac{78}{30} - \frac{25}{30} = \frac{78 - 25}{30} = \frac{53}{30}\]

• Преобразуем неправильную дробь в смешанную:

\[\frac{53}{30} = 1 \frac{23}{30}\]

Итого: \(1 \frac{23}{30}\)

3. в) Вычисление разности смешанных чисел:

\[24 \frac{23}{6} - 12 \frac{5}{12}\]

Сначала нужно упростить дробную часть первого числа, так как числитель больше знаменателя:

\[\frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6}\]

Тогда первое число можно переписать как:

\[24 + 3 \frac{5}{6} = 27 \frac{5}{6}\]

Теперь вычитаем:

\[27 \frac{5}{6} - 12 \frac{5}{12}\]

Приводим дроби к общему знаменателю, который равен 12:

\[\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\]

Теперь вычитаем дробные и целые части отдельно:

\[27 \frac{10}{12} - 12 \frac{5}{12} = (27 - 12) + (\frac{10}{12} - \frac{5}{12}) = 15 + \frac{5}{12} = 15 \frac{5}{12}\]

Итого: \(15 \frac{5}{12}\)

4. г) Вычисление суммы смешанных чисел:

\[6 \frac{5}{8} + 12 \frac{1}{5}\]

Складываем целые и дробные части отдельно:

\[6 + 12 + \frac{5}{8} + \frac{1}{5} = 18 + \frac{5}{8} + \frac{1}{5}\]

Приводим дроби к общему знаменателю, который равен 40:

\[\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}\]

\[\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}\]

Складываем дроби:

\[\frac{25}{40} + \frac{8}{40} = \frac{25 + 8}{40} = \frac{33}{40}\]

Теперь складываем целую и дробную части:

\[18 + \frac{33}{40} = 18 \frac{33}{40}\]

Итого: \(18 \frac{33}{40}\)

Ответ: a) \(2 \frac{1}{8}\); б) \(1 \frac{23}{30}\); в) \(12 \frac{41}{12}\); г) \(18 \frac{33}{40}\)