Вычислите значение выражения: \( \log_3 6 + \log_9 36 - 2 · \log_3 2 + 3^{\log_3 4} \).

Решение:

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Приведем логарифмы к одному основанию. Используем формулу \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) и \( \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b \). \( \log_9 36 = \frac{1}{2} \log_3 36 = \frac{1}{2} \log_3 (6^2) = \frac{1}{2} · 2 \log_3 6 = \log_3 6 \).
2. Выражение примет вид: \( \log_3 6 + \log_3 6 - 2 · \log_3 2 + 3^{\log_3 4} \).
3. Используем свойство \( n · \log_a b = \log_a b^n \): \( 2 · \log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4 \).
4. Используем свойство \( a^{\log_a b} = b \): \( 3^{\log_3 4} = 4 \).
5. Теперь выражение выглядит так: \( \log_3 6 + \log_3 6 - \log_3 4 + 4 \).
6. Используем свойство \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \) и \( \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) \): \( \log_3 (6 · 6) - \log_3 4 + 4 = \log_3 36 - \log_3 4 + 4 = \log_3 (36/4) + 4 = \log_3 9 + 4 \).
7. Вычислим \( \log_3 9 \): \( \log_3 9 = 2 \), так как \( 3^2 = 9 \).
8. Окончательно: \( 2 + 4 = 6 \).

Ответ: 6