Вычислите значение выражения: $$ \frac{2,4 \cdot 3 \frac{1}{9} \cdot 0,34 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot 1,5}{0,16 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,8 \cdot 2 \frac{5}{6} \cdot 0,45} $$

Решение:

Для начала переведём все смешанные числа в неправильные дроби и десятичные числа в обыкновенные дроби.

• \( 3 \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9} \)


• \( 2 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} \)


• \( 2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6} \)


• \( 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \)


• \( 0,34 = \frac{34}{100} = \frac{17}{50} \)


• \( 1,5 = \frac{3}{2} \)


• \( 0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \)


• \( 2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5} \)


• \( 0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$ \frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{28}{9} \cdot \frac{17}{50} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{4}{25} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{5} \cdot \frac{17}{6} \cdot \frac{9}{20}} $$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель:

$$ \frac{12}{5} \cdot \frac{28}{9} \cdot \frac{17}{50} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12 \cdot 28 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 3}{5 \cdot 9 \cdot 50 \cdot 2 \cdot 2} $$

Сократим:

$$ \frac{12 \cdot 28 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 3}{5 \cdot 9 \cdot 50 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot 28 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 3}{5 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 2) \cdot 2 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 28 \cdot 17 \cdot 3}{3 \cdot 25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 3}{3 \cdot 25 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{7 \cdot 17 \cdot 3}{3 \cdot 25} = \frac{7 \cdot 17}{25} = \frac{119}{25} $$

Знаменатель:

$$ \frac{4}{25} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{5} \cdot \frac{17}{6} \cdot \frac{9}{20} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 17 \cdot 9}{25 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 20} $$

Сократим:

$$ \frac{4 \cdot 14 \cdot 17 \cdot 9}{25 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 20} = \frac{(4) \cdot 14 \cdot 17 \cdot (3 \cdot 3)}{25 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5)} = \frac{14 \cdot 17 \cdot 3}{25 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 17 \cdot 3}{25 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 17}{25 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{119}{625} $$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{\frac{119}{25}}{\frac{119}{625}} = \frac{119}{25} \cdot \frac{625}{119} $$

Сократим 119:

$$ \frac{1}{25} \cdot \frac{625}{1} = \frac{625}{25} $$

Выполним деление:

$$ \frac{625}{25} = 25 $$

Ответ: 25