Решение:

Сначала упростим числитель:

$$(4^5 \cdot 4^{-6})^2 = (4^{5-6})^2 = (4^{-1})^2 = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$$

Теперь упростим знаменатель:

$$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{\frac{1}{16}}{24} = \frac{1}{16 \cdot 24} = \frac{1}{384}$$

Ответ: $$\frac{1}{384}$$