Вычислите значение $$\frac{x_0-1}{x_0+1}$$, если $$f(x) = lg(x+48) + lgx$$ и $$f(x_0) = 2$$.

Решение:

Дано: $$f(x) = lg(x+48) + lgx$$ и $$f(x_0) = 2$$.

Используя свойства логарифмов, $$lg A + lg B = lg(AB)$$, перепишем функцию:

$$f(x) = lg((x+48)x) = lg(x^2 + 48x)$$.

По условию $$f(x_0) = 2$$, следовательно:

$$lg(x_0^2 + 48x_0) = 2$$.

По определению логарифма, если $$lg y = 2$$, то $$y = 10^2 = 100$$.

Значит, $$x_0^2 + 48x_0 = 100$$.

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x_0^2 + 48x_0 - 100 = 0$$.

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 · 1 · (-100) = 2304 + 400 = 2704$$.

$$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$$.

Найдём корни:

$$x_{0,1} = \frac{-48 + 52}{2 · 1} = \frac{4}{2} = 2$$.

$$x_{0,2} = \frac{-48 - 52}{2 · 1} = \frac{-100}{2} = -50$$.

Поскольку аргумент логарифма должен быть положительным ($$x > 0$$), корень $$x_{0,2} = -50$$ не подходит. Значит, $$x_0 = 2$$.

Теперь вычислим значение выражения $$\frac{x_0-1}{x_0+1}$$:

$$\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$$.

Ответ: $$\frac{1}{3}$$.