Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = -.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 2 \) и \( y = - \), нам нужно сначала найти точки пересечения этих двух функций. Однако, вторая функция выглядит неполной (y = - ). Предполагая, что имелась в виду линия \( y = 0 \) (ось x), найдем корни уравнения \( -x^2 + 2 = 0 \):

1. \( x^2 = 2 \)
2. \( x = \pm \sqrt{2} \)

Теперь вычислим определенный интеграл от \( -x^2 + 2 \) в пределах от \( -sqrt{2} \) до \( sqrt{2} \):

\[ \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 2) dx \]\[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \]\[ = \left( -\frac{(\sqrt{2})^3}{3} + 2\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{(-\sqrt{2})^3}{3} + 2(-\sqrt{2}) \right) \]\[ = \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} \right) \]\[ = -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} \]\[ = 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]Если вторая линия подразумевалась как \( y=c \) для некоторого \( c < 2 \), то для решения необходимо знать точное значение \( c \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{8\sqrt{2}}{3} \) (при условии, что вторая линия - это \( y=0 \)).