10.1. Вычислите первообразные данных функций. A 1) x² + 1; 2) 3x² + 4x - 3; 3) 4x³ + x – 5; 4) \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3; \frac{x²+x-3}{3}; 6) 2sinx - 3cosx; 7) 3eˣ - \frac{x}{x} + 1; 8) x√x - \frac{2∛x}{3} ; 9) \frac{x²-1}{x} ; 10) \frac{\sqrt{x + x -1}}{x} Б 1) (2x – 1)⁵; 2) 3 sin(3x); 3) e²ˣ - (2x)⁻²; 4) \frac{x² + 4√x - 3}{4x³}

Ответ: Решение ниже

A

1. x² + 1

   Первообразная: \[\int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x + C\]

2. 3x² + 4x - 3

   Первообразная: \[\int (3x^2 + 4x - 3) dx = x^3 + 2x^2 - 3x + C\]

3. 4x³ + x – 5

   Первообразная: \[\int (4x^3 + x - 5) dx = x^4 + \frac{x^2}{2} - 5x + C\]

4. \(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3\)

   Первообразная: \[\int (x^{-2} + \frac{2}{x} - 3) dx = -x^{-1} + 2\ln|x| - 3x + C = -\frac{1}{x} + 2\ln|x| - 3x + C\]

5. \(\frac{x^2 + x - 3}{3}\)

   Первообразная: \[\int (\frac{x^2 + x - 3}{3}) dx = \frac{1}{3} \int (x^2 + x - 3) dx = \frac{1}{3} (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 3x) + C = \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{6} - x + C\]

6. 2sin(x) - 3cos(x)

   Первообразная: \[\int (2\sin(x) - 3\cos(x)) dx = -2\cos(x) - 3\sin(x) + C\]

7. 3eˣ - \(\frac{x}{x}\) + 1

   Первообразная: \[\int (3e^x - 1 + 1) dx = \int 3e^x dx = 3e^x + C\]

8. x√x - \(\frac{2∛x}{3}\)

   Первообразная: \[\int (x^{3/2} - \frac{2}{3}x^{1/3}) dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{2}x^{4/3} + C\]

9. \(\frac{x^2 - 1}{x}\)

   Первообразная: \[\int (\frac{x^2 - 1}{x}) dx = \int (x - \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} - \ln|x| + C\]

10. \(\frac{\sqrt{x + x - 1}}{x}\)

    Первообразная: \[\int \frac{\sqrt{2x - 1}}{x} dx\]

    Для этой функции первообразную в элементарных функциях выразить нельзя.

Б

1. (2x – 1)⁵

   Первообразная: \[\int (2x - 1)^5 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^6}{6} + C = \frac{(2x - 1)^6}{12} + C\]

2. 3 sin(3x)

   Первообразная: \[\int 3\sin(3x) dx = -\cos(3x) + C\]

3. e²ˣ - (2x)⁻²

   Первообразная: \[\int (e^{2x} - (2x)^{-2}) dx = \int (e^{2x} - \frac{1}{4x^2}) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{4x} + C\]

4. \(\frac{x² + 4√x - 3}{4x³}\)

   Первообразная: \[\int \frac{x^2 + 4\sqrt{x} - 3}{4x^3} dx = \frac{1}{4} \int (x^{-1} + 4x^{-5/2} - 3x^{-3}) dx = \frac{1}{4} (\ln|x| - \frac{8}{3}x^{-3/2} + \frac{3}{2}x^{-2}) + C = \frac{\ln|x|}{4} - \frac{2}{3x^{3/2}} + \frac{3}{8x^2} + C\]

Ответ: Решение выше