Вычислите \(\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\), если \(\cos\alpha=-\frac{9}{41}\) и \(\alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\).

Так как \(\alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\), угол находится в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\) и \(\operatorname{tg}\alpha>0\).

Найдём синус:

\[\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(-\frac{9}{41}\right)^2}=-\sqrt{\frac{1600}{1681}}=-\frac{40}{41}.\]

Тогда:

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}}=\frac{40}{9}.\]

Используем формулу тангенса разности:

\[\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{40}{9}-1}{1+\frac{40}{9}}=\frac{\frac{31}{9}}{\frac{49}{9}}=\frac{31}{49}.\]

Ответ: \(\frac{31}{49}\)