4. Вычислите интеграл: 2) ∫(5/√(5x+4) - x) dx (пределы интегрирования от 0 до 1)

Вычисляем интеграл:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим первообразную функции \( f(x) = \frac{5}{\sqrt{5x+4}} - x \):

Первообразная \( \frac{5}{\sqrt{5x+4}} \) это \( 2\sqrt{5x+4} \).

Первообразная \( -x \) это \( -\frac{x^2}{2} \).

Тогда первообразная \( F(x) = 2\sqrt{5x+4} - \frac{x^2}{2} \).

• Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{0}^{1} (\frac{5}{\sqrt{5x+4}} - x) dx = F(1) - F(0) \]

\[ F(1) = 2\sqrt{5 \cdot 1+4} - \frac{1^2}{2} = 2\sqrt{9} - \frac{1}{2} = 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{2} = \frac{12}{2} - \frac{1}{2} = \frac{11}{2} \]

\[ F(0) = 2\sqrt{5 \cdot 0 + 4} - \frac{0^2}{2} = 2\sqrt{4} - 0 = 2 \cdot 2 = 4 \]

• Шаг 3: Вычисляем разность:

\[ F(1) - F(0) = \frac{11}{2} - 4 = \frac{11}{2} - \frac{8}{2} = \frac{3}{2} \]

Ответ: \(\frac{3}{2}\)