Вычислите: \(\frac{5^3 \cdot 49^2}{35^4}\)

Решение:

Для вычисления значения выражения \(\frac{5^3 \cdot 49^2}{35^4}\) разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

1. Представим числа в виде простых множителей:
• \( 5^3 \) остается как есть.
• \( 49 = 7^2 \), следовательно \( 49^2 = (7^2)^2 = 7^4 \).
• \( 35 = 5 \cdot 7 \), следовательно \( 35^4 = (5 \cdot 7)^4 = 5^4 \cdot 7^4 \).
2. Подставим разложенные множители в исходное выражение:

\[ \frac{5^3 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 7^4} \]

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{5^3 \cdot 7^4}{5^4 \cdot 7^4} = \frac{5^3}{5^4} \cdot \frac{7^4}{7^4} = 5^{3-4} \cdot 7^{4-4} = 5^{-1} \cdot 7^0 \]

4. Вычислим полученное выражение:

\[ 5^{-1} \cdot 7^0 = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} \]

Ответ: \(\frac{1}{5}\)