Вычислите длину хорды BC.

Ответ: CB = 6 см

Решение.

• Рассмотрим треугольник \(\triangle ODB\). Он является равнобедренным, так как \(OD = OB\) как радиусы окружности.
• \(\angle DOB = 45^\circ\), следовательно, \(\angle ODB = \angle OBD = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 67.5^\circ\).
• \(OD \perp BC\), значит, \(\triangle ODB\) - прямоугольный, а \(\angle DOB = 90^\circ\), что противоречит предыдущему пункту.
• Угол \(\angle ODB = 45^\circ\), так как \(OD\) является биссектрисой угла \(\angle COB\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ODB\). В нём \(\angle OBD = 45^\circ\) и \(OB = 3\) см (радиус окружности).
• \(BD = OB \cdot \sin(\angle DOB) = 3 \cdot \sin(45^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• Так как \(OD\) перпендикулярна \(BC\), то \(BD = DC\). Следовательно, \(BC = 2 \cdot BD\).
• \(CB = 2 \cdot 3 = 6\) см.

Ответ: CB = 6 см