Вычислите csc(240°)

Решение:

Для вычисления \( \csc(240^{\circ}) \) воспользуемся определением косеканса как обратной величины синуса: \( \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} \).

Угол \( 240^{\circ} \) находится в третьем квадранте. Значение синуса в третьем квадранте отрицательное.

Приведём угол \( 240^{\circ} \) к острой величине: \( 240^{\circ} = 180^{\circ} + 60^{\circ} \).

Тогда, \( \sin(240^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin(60^{\circ}) \).

Значение \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, \( \sin(240^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь вычислим косеканс: \( \csc(240^{\circ}) = \frac{1}{\sin(240^{\circ})} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \).

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( -\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Сравним полученное значение с предложенными вариантами:

• A: \( \sqrt{2} \)
• B: \( -\frac{2\sqrt{3}}{3} \)
• C: \( -1 \)
• D: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Наш результат совпадает с вариантом B.

Ответ: B