Вычислите: C_14^9 + C_61^0 + C_17^17 - A_12^3

Решение:

Для вычисления данного выражения, используем формулы сочетаний и размещений:

1. Сочетания: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
2. Размещения: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Рассчитаем каждый элемент отдельно:

1. \( C_{14}^9 = \frac{14!}{9!(14-9)!} = \frac{14!}{9!5!} = \frac{14 × 13 × 12 × 11 × 10}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = 14 × 13 × 11 = 2002 \).
2. \( C_{61}^0 = 1 \) (по определению, сочетание из n по 0 всегда равно 1).
3. \( C_{17}^{17} = 1 \) (по определению, сочетание из n по n всегда равно 1).
4. \( A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 × 11 × 10 = 1320 \).

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

\[ 2002 + 1 + 1 - 1320 = 2004 - 1320 = 684 \]

Ответ: 684.