Вычислите: a) $ \int_{2}^{ } x^2 dx $; б) $ \int_{-1}^{ } (x^2 + 4x - 1)dx $; в) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $.

Question

$Фото задания: Вычислите: a) $ \int_{2}^{ } x^2 dx $; б) $ \int_{-1}^{ } (x^2 + 4x - 1)dx $; в) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Вычисление определенного интеграла $ \int_{2}^{ } x^2 dx $:
Первообразная для $ x^2 $ есть $ \frac{x^3}{3} $.
$ \int_{2}^{ } x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{ } = \frac{^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{^3}{3} - \frac{8}{3} $
б) Вычисление определенного интеграла $ \int_{-1}^{ } (x^2 + 4x - 1)dx $:
Первообразная для $ x^2 + 4x - 1 $ есть $ \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x $.
$ \int_{-1}^{ } (x^2 + 4x - 1)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x \right]_{-1}^{ } = \left( \frac{^3}{3} + 2^2 - \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1)^2 - (-1) \right) = \left( \frac{^3}{3} + 4 - \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 + 1 \right) = \frac{^3}{3} + 4 - \frac{1}{3} - 3 = \frac{^3}{3} + 1 - \frac{1}{3} $
в) Вычисление определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $:
Первообразная для $ \sin x $ есть $ -\cos x $.
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Ответ: а) $ \frac{^3}{3} - \frac{8}{3} $; б) $ \frac{^3}{3} + 1 - \frac{1}{3} $; в) $ \frac{1}{2} $.

Вычислите: a) \( \int_{2}^{ } x^2 dx \); б) \( \int_{-1}^{ } (x^2 + 4x - 1)dx \); в) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx \).