Вычислите 2\(\frac{2}{7}\)\(\times\) 2,4\(\times\) 1\(\frac{5}{9}\)\(\times\) 1\(\frac{9}{16}\) / 3\(\frac{1}{3}\)\(\times\) 1,125\(\times\) 1\(\frac{5}{7}\)\(\times\) 1\(\frac{7}{9}\)

Решение:

Для вычисления приведём смешанные числа к improper fractions и десятичные дроби к обыкновенным:

\( 2\frac{2}{7} = \frac{2\cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7} \)

\( 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \)

\( 1\frac{5}{9} = \frac{1\cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9} \)

\( 1\frac{9}{16} = \frac{1\cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16} \)

\( 3\frac{1}{3} = \frac{3\cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \)

\( 1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8} \)

\( 1\frac{5}{7} = \frac{1\cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} \)

\( 1\frac{7}{9} = \frac{1\cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9} \)

Теперь подставим полученные дроби в выражение:

\[ \frac{\frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16}}{\frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9}} \]

Упростим числитель:

\[ \frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16} = \frac{16 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 25}{7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 16} = \frac{16 \cdot (2 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 5)}{7 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 16} \]

Сократим общие множители:

\[ \frac{\cancel{16} \cdot 2 \cdot \cancel{6}^2 \cdot 2 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot 5}{\cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{9}^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{40}{9} \]

Упростим знаменатель:

\[ \frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 16}{3 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 9} \]

Сократим общие множители:

\[ \frac{(2 \cdot 5) \cdot \cancel{9} \cdot (3 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 8)}{3 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{9}} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{240}{21} \]

Разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{\frac{40}{9}}{\frac{240}{21}} = \frac{40}{9} \times \frac{21}{240} \]

Сократим общие множители:

\[ \frac{\cancel{40} \cdot 21}{9 \cdot \cancel{240}_6} = \frac{1 \cdot 21}{9 \cdot 6} = \frac{21}{54} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{21}{54} = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 18} = \frac{7}{18} \]

Ответ: \( \frac{7}{18} \).