Вычислите: (14^4) / (4^3 * 49^2).

Привет! Давай разберёмся с этим примером вместе.

1. Разложим числа на простые множители:
   1. Число 14 можно представить как $$2 \times 7$$.
   2. Число 49 можно представить как $$7^2$$.
2. Подставим разложения в наш пример:

   У нас есть дробь: \[ \frac{14^4}{4^3 \cdot 49^2} \]

   Заменим числа их разложениями:

   \[ \frac{(2 \cdot 7)^4}{(2^2)^3 \cdot (7^2)^2} \]

3. Применим свойства степеней:

   Когда у нас есть степень в степени, мы их перемножаем (например, $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$), и когда у нас произведение в степени, мы возводим каждый множитель в эту степень (например, $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$).

   \[ \frac{2^4 \cdot 7^4}{2^{2 \cdot 3} \cdot 7^{2 \cdot 2}} = \frac{2^4 \cdot 7^4}{2^6 \cdot 7^4} \]

4. Сократим дробь:

   Теперь у нас есть одинаковые числа в числителе и знаменателе. Мы можем сократить их, используя правило деления степеней с одинаковым основанием: $$a^m / a^n = a^{m-n}$$.

   Сократим $$7^4$$:\[ \frac{2^4 \cdot 7^4}{2^6 \cdot 7^4} = \frac{2^4}{2^6} \]

   Теперь сократим степени двойки:\[ \frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2} \]

5. Вспомним, что такое отрицательная степень:

   Степень с отрицательным показателем равна дроби, где в числителе 1, а в знаменателе то же число, но со степенью со знаком плюс ($$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$).

   \[ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]

Ответ: 1/4