Вычислите 1 / (sqrt(2)-1) + 1 / (sqrt(3)-sqrt(2)) + 1 / (2-sqrt(3))

Решение:

Для вычисления значения выражения, воспользуемся методом умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

1. Вычислим первое слагаемое:

\( \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1 \)

2. Вычислим второе слагаемое:

\( \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \)

3. Вычислим третье слагаемое:

\( \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \)

4. Сложим полученные результаты:

\( (\sqrt{2}+1) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{3}) = \sqrt{2}+1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2+\sqrt{3} = 1+2 + \sqrt{2}+\sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \)

Ответ: \( 3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \).