1. Вычислите 13 sin a, если tg a = 2,4, π< α < 3π/2

Ответ: -12

Решение:

• Шаг 1: Выразим sin α через tg α. Известно, что \[ tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \]. Также известно основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \]
• Шаг 2: Найдем связь между tg² α и cos² α. Разделим обе части основного тригонометрического тождества на cos² α: \[ \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + 1 = \frac{1}{cos^2 \alpha} \] \[ tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{cos^2 \alpha} \]
• Шаг 3: Выразим cos² α через tg α. \[ cos^2 \alpha = \frac{1}{tg^2 \alpha + 1} \]
• Шаг 4: Найдем cos α, учитывая условие π < α < 3π/2. Подставим значение tg α = 2.4: \[ cos^2 \alpha = \frac{1}{2.4^2 + 1} = \frac{1}{5.76 + 1} = \frac{1}{6.76} \] \[ cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{6.76}} = \pm \frac{1}{\sqrt{6.76}} = \pm \frac{1}{2.6} = \pm \frac{5}{13} \] Так как π < α < 3π/2, то cos α < 0, следовательно: \[ cos \alpha = -\frac{5}{13} \]
• Шаг 5: Найдем sin α, используя tg α и cos α. \[ sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = 2.4 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13} \]
• Шаг 6: Вычислим 13 sin α. \[ 13 sin \alpha = 13 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -12 \]

Ответ: -12