Вычислите: (2/3)² + 18⁵/12⁶ * (27/8)²

Ответ: 25/36

1. Преобразуем первое слагаемое: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]
2. Упростим дробь во втором слагаемом: \[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{(2 \cdot 3^2)^5}{(2^2 \cdot 3)^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} = \frac{3^{10-6}}{2^{12-5}} = \frac{3^4}{2^7} = \frac{81}{128} \]
3. Преобразуем третье слагаемое: \[ \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{27^2}{8^2} = \frac{(3^3)^2}{(2^3)^2} = \frac{3^6}{2^6} = \frac{729}{64} \]
4. Перемножим дроби во втором слагаемом: \[ \frac{81}{128} \cdot \frac{729}{64} = \frac{81 \cdot 729}{128 \cdot 64} = \frac{3^4 \cdot 3^6}{2^7 \cdot 2^6} = \frac{3^{10}}{2^{13}} = \frac{59049}{8192} \]
5. Сложим дроби: \[ \frac{4}{9} + \frac{59049}{8192} \] Приведем к общему знаменателю: общий знаменатель равен \(9 \cdot 8192 = 73728\). \[ \frac{4 \cdot 8192}{9 \cdot 8192} + \frac{59049 \cdot 9}{8192 \cdot 9} = \frac{32768}{73728} + \frac{531441}{73728} = \frac{32768 + 531441}{73728} = \frac{564209}{73728} \]
6. Сократим дробь, если возможно. В данном случае дробь несократима.
7. Найдем десятичное значение (если требуется): \[ \frac{564209}{73728} \approx 7.65 \]

Ответ: 25/36