Вычислить производную первого порядка функции y = ∛(x) * cos3x

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sqrt[5]{x} \cdot \cos 3x \) применим правило произведения (f*g)' = f'*g + f*g'.

Пусть \( f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}} \) и \( g(x) = \cos 3x \).

Найдём производные функций \( f(x) \) и \( g(x) \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{5}}) = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \).

\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos 3x) = -\sin 3x \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -3\sin 3x \).

Теперь применим правило произведения:

\( y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)

\( y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \cdot \cos 3x + \sqrt[5]{x} \cdot (-3\sin 3x) \)

\( y' = \frac{\cos 3x}{5\sqrt[5]{x^4}} - 3\sqrt[5]{x} \sin 3x \)

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Правильный вариант:

\( \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \cdot \cos 3x - 3\sqrt[5]{x} \sin 3x \)

Ответ: 1/5∛⁵⁴⁴⁷⁰ⁿⁿ·cos3x-3∛⁵⁷⁰ⁿⁿsin3x