Вычислить производную первого порядка функции y = ³√x² + 2/x - arccos4x

Решение:

Для вычисления производной первого порядка функции \( y = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{x} - \arccos(4x) \) , продифференцируем каждый член функции по отдельности.

1. Производная от \( \sqrt[3]{x^2} \):
   \( \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} \)
   \( \frac{d}{dx} (x^{2/3}) = \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \)
2. Производная от \( \frac{2}{x} \):
   \( \frac{2}{x} = 2x^{-1} \)
   \( \frac{d}{dx} (2x^{-1}) = 2 \cdot (-1) x^{-1 - 1} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2} \)
3. Производная от \( \arccos(4x) \):
   Используем правило дифференцирования арккосинуса: \( \frac{d}{du} (\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \)
   По правилу цепи, \( u = 4x \), тогда \( \frac{du}{dx} = 4 \).
   \( \frac{d}{dx} (\arccos(4x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} \)
4. Соберем все производные вместе:
   \( y' = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} - \left(-\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}\right) \)
   \( y' = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} \)

Ответ: \( y' = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} \)