Вычислить производную первого порядка функции $$y = \frac{\sqrt{2x-1}}{x^2+1}$$

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = \frac{\sqrt{2x-1}}{x^2+1} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = \sqrt{2x-1} \) и \( v = x^2+1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2x-1}) = \frac{d}{dx}((2x-1)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}(2x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \)
• \( v' = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \)

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{2x-1}} \cdot (x^2+1) - \sqrt{2x-1} \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \]\[ y' = \frac{\frac{x^2+1}{\sqrt{2x-1}} - 2x\sqrt{2x-1}}{(x^2+1)^2} \]\[ y' = \frac{\frac{x^2+1 - 2x(\sqrt{2x-1})^2}{\sqrt{2x-1}}}{(x^2+1)^2} \]\[ y' = \frac{x^2+1 - 2x(2x-1)}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \]\[ y' = \frac{x^2+1 - 4x^2+2x}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \]\[ y' = \frac{-3x^2+2x+1}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \]\[ y' = \frac{-(3x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \]

Сравним с вариантами ответов:

• Вариант 1: \( \frac{3x^2-2x-1}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \)
• Вариант 2: \( \frac{2x-3x^2+1}{x^2+1} \)
• Вариант 3: \( \frac{4x-7x^2+1}{(x^2+1)\sqrt{2x-1}} \)
• Вариант 4: \( \frac{2x-3x^2+1}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \)

Наш результат: \( \frac{-3x^2+2x+1}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \). Перемножим числитель на -1, чтобы получить \( 3x^2-2x-1 \).

Таким образом, производная равна \( \frac{-(3x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}} \).

Ответ: Вариант 1.