Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. lim (7+6x)^1/(x+1) x->-1

Решение:

Это неопределённость вида \( \infty^0 \), так как при \( x \to -1 \) основание \( 7 + 6x \to 7 + 6(-1) = 1 \), а показатель степени \( \frac{1}{x+1} \to \infty \).

Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся логарифмированием.

Пусть \( y = (7+6x)^{\frac{1}{x+1}} \). Тогда \( \ln y = \ln \left( (7+6x)^{\frac{1}{x+1}} \right) = \frac{1}{x+1} \ln (7+6x) = \frac{\ln (7+6x)}{x+1} \).

Теперь найдём предел \( \ln y \) при \( x \to -1 \):

\( \lim_{x\to -1} \ln y = \lim_{x\to -1} \frac{\ln (7+6x)}{x+1} \)

При \( x \to -1 \) числитель \( \ln(7+6x) \to \ln(7+6(-1)) = \ln(1) = 0 \), а знаменатель \( x+1 \to -1+1 = 0 \). Получена неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Теперь применим правило Лопиталя (хотя в условии сказано не пользоваться им, для раскрытия неопределённости \( \frac{0}{0} \) мы бы прибегли к нему. Однако, переформулируем, чтобы избежать прямого использования правила, но использовать его дух через эквивалентные преобразования или разложение в ряд, если бы это было разрешено, или использовать свойства логарифмов и пределов).

Но поскольку сказано НЕ пользоваться правилом Лопиталя, а неопределённость \( \frac{0}{0} \) возникла после логарифмирования, пересмотрим подход.

Мы имеем \( \lim_{x\to -1} \frac{\ln (7+6x)}{x+1} \). Это всё ещё неопределённость \( \frac{0}{0} \).

Давайте используем эквивалентные замены, если это возможно, или подставим \( t = x+1 \), тогда \( x = t-1 \). При \( x \to -1 \), \( t \to 0 \).

\( \lim_{t\to 0} \frac{\ln (7+6(t-1))}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\ln (7+6t-6)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\ln (1+6t)}{t} \)

Мы знаем, что \( \lim_{z\to 0} \frac{\ln(1+z)}{z} = 1 \).

Чтобы привести наш предел к этому виду, умножим и разделим числитель на 6:

\( \lim_{t\to 0} \frac{\ln (1+6t)}{6t} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6 \).

Таким образом, \( \lim_{x\to -1} \ln y = 6 \).

Так как \( \ln y \to 6 \), то \( y \to e^6 \).

Ответ: e⁶.