Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя, функции y=0,5(1-(1-x)1/2)/х при х-0

Для вычисления предела функции $$y = 0.5 \cdot \frac{1 - (1-x)^{1/2}}{x}$$ при $$x \to 0$$, не используя правило Лопиталя, можно использовать разложение в ряд Тейлора или преобразования, чтобы избавиться от неопределенности.

Умножим числитель и знаменатель на $$1 + (1-x)^{1/2}$$:

$$y = 0.5 \cdot \frac{1 - (1-x)^{1/2}}{x} \cdot \frac{1 + (1-x)^{1/2}}{1 + (1-x)^{1/2}} = 0.5 \cdot \frac{1 - (1-x)}{x(1 + (1-x)^{1/2})} = 0.5 \cdot \frac{x}{x(1 + (1-x)^{1/2})} = 0.5 \cdot \frac{1}{1 + (1-x)^{1/2}}$$

Теперь найдем предел при $$x \to 0$$:

$$\lim_{x \to 0} 0.5 \cdot \frac{1}{1 + (1-x)^{1/2}} = 0.5 \cdot \frac{1}{1 + (1-0)^{1/2}} = 0.5 \cdot \frac{1}{1 + 1} = 0.5 \cdot \frac{1}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$$

Таким образом, предел функции равен $$\frac{1}{4}$$.

Ответ: c. 1/4