Вычислить площадь полной поверхности и объём усечённого конуса.

Дано:

Модель усечённого конуса.

Измерения:

• Длина образующей \( L = 4 \) см.
• Длина окружности верхнего основания \( C_1 = 2,8 \) см.
• Длина окружности нижнего основания \( C_2 = 1 \) м.

Формулы для вычислений:

1. Площадь полной поверхности \( S_{полн. пов.} = S_{бок. пов.} + S_{верхн. осн.} + S_{нижн. осн.} \)
2. Площадь боковой поверхности \( S_{бок. пов.} = \pi L (r_1 + r_2) \)
3. Площадь верхнего основания \( S_{верхн. осн.} = \pi r_1^2 \)
4. Площадь нижнего основания \( S_{нижн. осн.} = \pi r_2^2 \)
5. Длина образующей \( L = \sqrt{H^2 + (r_2 - r_1)^2} \)
6. Объём \( V = \frac{1}{3} \pi H (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \)

Вычисления:

Сначала переведём все единицы измерения в сантиметры:

\( C_2 = 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \)

Найдём радиусы оснований:

• \( r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{2.8}{2\pi} \approx 0.446 \text{ см} \)
• \( r_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} \approx 15.915 \text{ см} \)

Теперь найдём высоту \( H \) по формуле для образующей:

• \( L^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2 \)
• \( H^2 = L^2 - (r_2 - r_1)^2 \)
• \( H^2 = 4^2 - (15.915 - 0.446)^2 \)
• \( H^2 = 16 - (15.469)^2 \)
• \( H^2 = 16 - 239.29 \)
• \( H^2 = -223.29 \)

Получили отрицательное значение для \( H^2 \). Это означает, что при заданных измерениях (особенно при \( L = 4 \) см и \( C_2 = 1 \) м) построить такой усечённый конус невозможно, так как образующая короче разницы радиусов. Возможно, в условии есть опечатка.

Если предположить, что \( L=40 \) см (для примера):

• \( H^2 = 40^2 - (15.469)^2 \)
• \( H^2 = 1600 - 239.29 \)
• \( H^2 = 1360.71 \)
• \( H = \sqrt{1360.71} \approx 36.89 \text{ см} \)
• Площадь верхнего основания: \( S_{верхн. осн.} = \pi (0.446)^2 \approx 0.624 \text{ см}^2 \)
• Площадь нижнего основания: \( S_{нижн. осн.} = \pi (15.915)^2 \approx 795.79 \text{ см}^2 \)
• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок. пов.} = \pi \cdot 40 (0.446 + 15.915) = \pi \cdot 40 (16.361) \approx 2056.2 \text{ см}^2 \)
• Площадь полной поверхности: \( S_{полн. пов.} = 2056.2 + 0.624 + 795.79 \approx 2852.6 \text{ см}^2 \)
• Объём: \( V = \frac{1}{3} \pi (36.89) (0.446^2 + 0.446 × 15.915 + 15.915^2) \)
• \( V = \frac{1}{3} \pi (36.89) (0.199 + 7.094 + 253.28) \)
• \( V = \frac{1}{3} \pi (36.89) (260.573) \approx 31984 \text{ см}^3 \)

Ответ: При заданных условиях (L=4 см, C2=1 м) усечённый конус невозможен. При изменении L на 40 см, площадь полной поверхности составляет приблизительно 2852.6 см², а объём — приблизительно 31984 см³.