Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x². y = x

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = x \), нужно найти точки их пересечения. Приравниваем уравнения:

\[ x^2 = x \]

\[ x^2 - x = 0 \]

\[ x(x - 1) = 0 \]

Точки пересечения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

На интервале \( [0, 1] \) функция \( y = x \) находится выше функции \( y = x^2 \). Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности функций:

\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

\[ S = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \]

\[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \]

\[ S = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \]

Ответ: 1/6