Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, и сделать чертёж: 1) \(y=4x-x^2,\ y=0\); 2) \(y=-x^2+4,\ y=0\); 3) \(y=-x^2+6x-5,\ y=-x+5\); 4) \(y=x^2,\ y=2x\); 5) \(y=x^2,\ y=3x\); 6) \(y=x^2-4x+5,\ y=5\); 7) \(y=8+2x-x^2,\ y=x+6\); 8) \(y=4-x^2,\ y=3\); 9) \(y=3-2x-x^2,\ y=1-x\); 10) \(y=x^2+1,\ y=3-x\); 11) \(y=x^2-2x+3,\ y=5-x\); 12) \(y=4x-x^2,\ y=4-x\); 13) \(y=-x^2-4x,\ y=1,\ x=-3,\ x=-1\); 14) \(y=3-2x-x^2,\ y=0,\ x=0,\ x=2\); 15) \(y=-3x^2-2,\ x=1,\ x=2,\ y=-1\); 16) \(y=x^2-4x+5,\ y=0,\ x=0,\ x=4\); 17) \(y=x^2-4x+6,\ y=1,\ x=1,\ x=3\).

Используем формулу площади между графиками: интегрируем разность верхней и нижней функций между точками пересечения. Для каждого пункта указан интервал, на котором ограничена область, и её площадь.

1. Пересечения с осью: \(x=0,4\).
   \(S=\int_0^4(4x-x^2)\,dx=[2x^2-x^3/3]_0^4=32/3.\)
   
2. Нули параболы: \(x=-2,2\).
   \(S=\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=32/3.\)
   
3. Пересечения: \(x=2,3\); на этом отрезке парабола выше прямой.
   \(S=\int_2^3(-x^2+7x-10)\,dx=1/6.\)
   
4. Пересечения: \(x=0,2\); прямая выше параболы.
   \(S=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=4/3.\)
   
5. Пересечения: \(x=0,3\); прямая выше параболы.
   \(S=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=9/2.\)
   
6. Пересечения: \(x=0,4\); горизонтальная прямая выше параболы.
   \(S=\int_0^4[5-(x^2-4x+5)]\,dx=\int_0^4(4x-x^2)\,dx=32/3.\)
   
7. Пересечения: \(x=-1,3\); парабола выше прямой.
   \(S=\int_{-1}^3(2-x-x^2)\,dx=16/3.\)
   
8. Пересечения: \(x=-1,1\). На отрезке парабола выше прямой.
   \(S=\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=4/3.\)
   
9. Пересечения: \(x=-1,2\); прямая выше параболы.
   \(S=\int_{-1}^2(2-x-x^2)\,dx=9/2.\)
   
10. Пересечения: \(x=-2,2\); прямая выше параболы.
    \(S=\int_{-2}^2(2-x-x^2)\,dx=16/3.\)
    
11. Пересечения: \(x=0,5\); парабола выше прямой.
    \(S=\int_0^5(x^2- x-2)\,dx=25/6.\)
    
12. Вертикальные границы \(-3,-1\). На отрезке парабола выше прямой \(y=1\).
    \(S=\int_{-3}^{-1}(-x^2-4x-1)\,dx=10/3.\)
    
13. На \([0,2]\) график параболы пересекает ось \(x\) при \(x=1\); площадь считается по модулю функции.
    \(S=\int_0^1(3-2x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2+2x-3)\,dx=5/3+5/3=10/3.\)
    
14. На \([1,2]\) парабола ниже прямой \(y=-1\).
    \(S=\int_1^2[(-1)-(-3x^2-2)]\,dx=\int_1^2(3x^2+1)\,dx=6.\)
    
15. На \([0,4]\) парабола расположена выше оси \(x\).
    \(S=\int_0^4(x^2-4x+5)\,dx=[x^3/3-2x^2+5x]_0^4=20/3.\)
    
16. На \([1,3]\) парабола ниже прямой \(y=1\).
    \(S=\int_1^3[1-(x^2-4x+6)]\,dx=\int_1^3(-x^2+4x-5)\,dx=14/3.\)