Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x² + 1 и y = x - 1.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = -x^2 + 1 \) и \( y = x - 1 \), сначала найдём точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\[ -x^2 + 1 = x - 1 \]\[ -x^2 - x + 2 = 0 \]\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

Теперь найдём площадь фигуры, используя интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 1) - (x - 1)) dx \]\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \]\[ S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]\[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right) \]\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \]\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]\[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) квадратных единиц.

Ответ: \( \frac{9}{2} \).