Вычислить определенный интеграл $$\int_{-1}^{1} (1-x+3x^2)dx$$

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = 1 - x + 3x^2 \). Первообразная \( F(x) \) будет: \( F(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{3x^3}{3} = x - \frac{x^2}{2} + x^3 \).
2. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \( F(1) = 1 - \frac{1^2}{2} + 1^3 = 1 - \frac{1}{2} + 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
4. \( F(-1) = -1 - \frac{(-1)^2}{2} + (-1)^3 = -1 - \frac{1}{2} - 1 = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \).
5. Вычислим разность: \( \int_{-1}^{1} (1-x+3x^2)dx = F(1) - F(-1) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: 4