Вычислить определенный интеграл ∫¹₋¹ (1-x+3x²)dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{-1}^{1} (1 - x + 3x^2) dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную функции \( f(x) = 1 - x + 3x^2 \). Первообразная \( F(x) \) будет: \( F(x) = \int (1 - x + 3x^2) dx = x - \frac{x^2}{2} + \frac{3x^3}{3} + C = x - \frac{x^2}{2} + x^3 + C \).
2. Вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования: \( \int_{-1}^{1} (1 - x + 3x^2) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} + x^3 \right]_{-1}^{1} \)
3. Подставим верхний предел (1): \( 1 - \frac{1^2}{2} + 1^3 = 1 - \frac{1}{2} + 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
4. Подставим нижний предел (-1): \( -1 - \frac{(-1)^2}{2} + (-1)^3 = -1 - \frac{1}{2} - 1 = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \)
5. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( \frac{3}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Ответ: 4