Вычислить неопределенный интеграл ∫(e^(4x) - cos 2x)dx

Решение:

Для вычисления неопределённого интеграла от разности двух функций, мы можем проинтегрировать каждую функцию по отдельности:

\( \int (e^{4x} - \cos 2x) dx = \int e^{4x} dx - \int \cos 2x dx \)

Теперь проинтегрируем каждую часть:

1. Интеграл от \( e^{4x} \):
   Используем подстановку \( u = 4x \), тогда \( du = 4 dx \), или \( dx = \frac{1}{4} du \).
   \( \int e^{4x} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C_1 = \frac{1}{4} e^{4x} + C_1 \)
2. Интеграл от \( \cos 2x \):
   Используем подстановку \( v = 2x \), тогда \( dv = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} dv \).
   \( \int \cos 2x dx = \int \cos v \cdot \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int \cos v dv = \frac{1}{2} \sin v + C_2 = \frac{1}{2} \sin 2x + C_2 \)

Объединяем результаты:

\( \int (e^{4x} - \cos 2x) dx = \frac{1}{4} e^{4x} - \frac{1}{2} \sin 2x + C \)

где \( C = C_1 - C_2 \) — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: \( \frac{1}{4} e^{4x} - \frac{1}{2} \sin 2x + C \).