Вычислить интеграл $$\int_{0}^{1} (15x^4 + 13)dx$$

Решение:

Для вычисления определённого интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 15x^4 + 13 \).

Первообразная для \( 15x^4 \) равна \( \frac{15x^{4+1}}{4+1} = \frac{15x^5}{5} = 3x^5 \).

Первообразная для \( 13 \) равна \( 13x \).

Таким образом, первообразная \( F(x) = 3x^5 + 13x \).

Теперь вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

• \( F(1) = 3(1)^5 + 13(1) = 3 + 13 = 16 \)
• \( F(0) = 3(0)^5 + 13(0) = 0 + 0 = 0 \)

Вычислим интеграл:

\[ \int_{0}^{1} (15x^4 + 13)dx = F(1) - F(0) = 16 - 0 = 16 \]

Ответ: 16