Вычисли значение выражения: $$ \frac{4x(2-x)^{-1}}{3 - \left(\frac{2-x}{4x}\right)^{-1}} \text{ при } x = \frac{5}{7} $$

Решение:

Подставим значение \( x = \frac{5}{7} \) в выражение.

1. Сначала вычислим \( 2-x \):
   \[ 2 - \frac{5}{7} = \frac{14}{7} - \frac{5}{7} = \frac{9}{7} \]
2. Теперь вычислим \( \frac{2-x}{4x} \):
   \[ \frac{\frac{9}{7}}{4 \cdot \frac{5}{7}} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{20}{7}} = \frac{9}{7} \cdot \frac{7}{20} = \frac{9}{20} \]
3. Теперь вычислим числитель \( 4x(2-x)^{-1} \):
   \[ 4 \cdot \frac{5}{7} \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^{-1} = \frac{20}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{20}{9} \]
4. Вычислим знаменатель \( 3 - \left(\frac{2-x}{4x}\right)^{-1} \):
   \[ 3 - \left(\frac{9}{20}\right)^{-1} = 3 - \frac{20}{9} = \frac{27}{9} - \frac{20}{9} = \frac{7}{9} \]
5. Наконец, вычислим всё выражение:
   \[ \frac{\frac{20}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{20}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{20}{7} \]

Ответ:

\( \frac{20}{7} \)