Вычисли сторону и тупой угол ромба, если ∠MNK = 60° и КО = 6,4 мм.

Решение:

Ромб KLMN вписан в окружность, значит, его диагонали являются диаметрами окружности. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

1. Находим тупой угол ромба.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Так как \( \angle MNK = 60° \), то смежный угол \( \angle NKL = 180° - 60° = 120° \).

Углы в ромбе противоположны попарно равны, значит \( \angle MNK = \angle MLK = 60° \) и \( \angle NKL = \angle NMK = 120° \).

Тупой угол ромба равен 120°.

2. Находим сторону ромба.

Диагональ \( KO \) равна половине диагонали \( KM \). По условию \( KO = 6,4 \) мм. Следовательно, \( KM = 2 \cdot KO = 2 \cdot 6,4 = 12,8 \) мм.

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \( \triangle KLO \) — прямоугольный.

В ромбе диагонали делят углы пополам. Поэтому \( \angle OKL = \frac{\angle NKL}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle KLO \) имеем:

• \( \angle KLO = 90° - \angle OKL = 90° - 60° = 30° \).
• Катет \( LO \) лежит против угла \( 30° \), поэтому \( LO = \frac{1}{2} KL \).
• \( LO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \cdot 12,8 = 6,4 \) мм.
• Тогда сторона ромба \( KL = 2 \cdot LO = 2 \cdot 6,4 = 12,8 \) мм.

Или:

Рассмотрим \( \triangle MNK \). Он равнобедренный, так как \( MN = NK \) (стороны ромба). Угол при вершине \( N \) равен \( 60° \). Значит, \( \triangle MNK \) — равносторонний.

Следовательно, сторона ромба \( MN = NK = MK \).

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом. \( \triangle KMO \) — прямоугольный, \( \angle KOM = 90° \).

\( KO = 6,4 \) мм.

\( \angle MKO = \frac{1}{2} \angle MNK = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \).

\( \angle KMO = 90° - \angle MKO = 90° - 30° = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle KMO \):

\( MO = KO \cdot \tan(\angle MKO) = 6,4 \cdot \tan(30°) = 6,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6,4}{\sqrt{3}} \) мм.

\( KM = 2 \cdot MO = \frac{12,8}{\sqrt{3}} \) мм.

Сторона ромба \( KN \) — гипотенуза \( \triangle KMO \).

\( KN = \frac{KO}{\cos(\angle MKO)} = \frac{6,4}{\cos(30°)} = \frac{6,4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12,8}{\sqrt{3}} \) мм.

Примечание: Окружность вписана в ромб, а не описана. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Отрезок \( KO \) является радиусом вписанной окружности, так как он перпендикулярен стороне \( KL \) (поскольку \( KL \) является касательной к окружности в точке касания, которая будет серединой стороны ромба).

Перерешаем с учетом того, что окружность вписана:

1. Тупой угол ромба.

\( \angle MNK = 60° \) — острый угол ромба.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна \( 180° \). Поэтому тупой угол \( \angle NKL = 180° - 60° = 120° \).

2. Сторона ромба.

Радиус вписанной окружности \( r = KO = 6,4 \) мм.

Рассмотрим \( \triangle KLO \). \( LO \) — радиус, проведенный в точку касания \( L \) со стороной \( KN \). Следовательно, \( LO \perp KN \).

\( \angle LKO = \frac{\angle NKL}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle KLO \):

\( LO = KN \cdot \sin(\angle LKO) \) (здесь \( KN \) — это сторона ромба, которую мы ищем).

\( 6,4 = KN \cdot \sin(60°) \)

\( 6,4 = KN \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( KN = \frac{6,4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12,8}{\sqrt{3}} = \frac{12,8\sqrt{3}}{3} \) мм.

Проверим с острым углом:

\( \angle MNK = 60° \). Диагональ \( KM \) делит его пополам, \( \angle MKO = \frac{60°}{2} = 30° \).

Рассмотрим \( \triangle KMO \). \( MO \) — радиус, проведенный в точку касания \( M \) со стороной \( KN \). \( MO \perp KN \).

\( MO = KN \cdot \sin(\angle MKO) \)

\( MO = \frac{12,8\sqrt{3}}{3} \cdot \sin(30°) = \frac{12,8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6,4\sqrt{3}}{3} \) мм. Это не равно \( 6,4 \) мм.

Ошибка в интерпретации рисунка. На рисунке окружность вписана в ромб. Точки касания - это середины сторон ромба. Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

1. Тупой угол ромба.

\( \angle MNK = 60° \) — острый угол ромба.

Тупой угол \( \angle NKL = 180° - 60° = 120° \).

2. Сторона ромба.

Рассмотрим \( \triangle KMO \). \( O \) — центр окружности, \( KO \) — радиус, проведенный к точке касания \( K \) со стороной \( NM \). NO = 6,4 мм.

\( \angle KNM = \frac{1}{2} \angle MNK = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \).

В прямоугольном \( \triangle KMO \):

\( NM \) — сторона ромба.

\( NO = NM \cdot \sin(\angle KNM) \)

\( 6,4 = NM \cdot \sin(30°) \)

\( 6,4 = NM \cdot \frac{1}{2} \)

\( NM = 6,4 \cdot 2 = 12,8 \) мм.

Ответ: Сторона ромба равна 12,8 мм, тупой угол равен 120°.