Вычисли пределы: lim x→1 x²-1 3x² - 9/2x + 3/2

Решение:

Для вычисления предела функции в точке \( x = 1 \), сначала подставим значение \( x = 1 \) в выражение:

Числитель: \( 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)

Знаменатель: \( 3(1)^2 - \frac{9}{2}(1) + \frac{3}{2} = 3 - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 3 - \frac{6}{2} = 3 - 3 = 0 \)

Получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель — разность квадратов:

\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]

Знаменатель — квадратный трёхчлен. Найдём его корни, приравняв к нулю:

\[ 3x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{3}{2} = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ 6x^2 - 9x + 3 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ 2x^2 - 3x + 1 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь разложим знаменатель на множители, используя корни:

\[ 3x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{3}{2} = 2(x-1)(x-\frac{1}{2}) = (x-1)(2x-1) \]

Подставим разложенные выражения в предел:

\[ \lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x-1)} \]

Сократим \( (x-1) \), так как \( x \to 1 \), то \( x \neq 1 \):

\[ \lim_{x\to1} \frac{x+1}{2x-1} \]

Теперь подставим \( x = 1 \) в упрощённое выражение:

\[ \frac{1+1}{2(1)-1} = \frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 \]

Ответ: 2