Вычисли пределы: lim_{x→∞} ( (3 + 2x) / (1 + 2x) )^(1 - 5x)

Решение:

Рассмотрим предел вида \( 1^\infty \). Для его вычисления используем формулу:

\[ \lim_{x \to \infty} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to \infty} (f(x) - 1) \cdot g(x)} \]

В нашем случае:

• \( f(x) = \frac{3 + 2x}{1 + 2x} \)
• \( g(x) = 1 - 5x \)

Вычислим предел показателя:

\( \lim_{x \to \infty} (f(x) - 1) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 + 2x}{1 + 2x} - 1 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 + 2x - (1 + 2x)}{1 + 2x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 + 2x - 1 - 2x}{1 + 2x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{1 + 2x} \right) \)

Этот предел равен 0, так как числитель — константа, а знаменатель стремится к бесконечности.

Теперь вычислим предел произведения \( (f(x) - 1) \cdot g(x) \):

\( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{1 + 2x} \right) \cdot (1 - 5x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2(1 - 5x)}{1 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - 10x}{1 + 2x} \)

Чтобы найти этот предел, разделим числитель и знаменатель на \( x \) (наивысшую степень \( x \) в знаменателе):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - 10}{\frac{1}{x} + 2} = \frac{0 - 10}{0 + 2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Теперь подставим полученное значение в экспоненту:

\( e^{-5} \)

Ответ: \( e^{-5} \).