Вычисли полупериметр ромба, радиус и площадь круга, если ∠KNM = 60° и КО = 4 см, а площадь ромба равна 32√3 см².

Решение:

Дан ромб MKLN, в который вписана окружность с центром O. Известно, что \( \angle KNM = 60^{\circ} \) и \( KO = 4 \text{ см} \). Площадь ромба \( S_{ромба} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

1. Найдём радиус окружности (r):

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. \( KO \) — это половина диагонали \( KM \). Таким образом, \( KM = 2 \cdot KO = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} \).

Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. В данном случае, так как окружность вписана, \( KO \) является радиусом. Следовательно, \( r = KO = 4 \text{ см} \).

2. Найдём сторону ромба (a):

Площадь ромба можно вычислить по формуле \( S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 = KM = 8 \text{ см} \) и \( d_2 = NL \).

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot NL \)

\( 32\sqrt{3} = 4 \cdot NL \)

\( NL = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \text{ см} \).

Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \( \triangle KON \). \( KO = 4 \text{ см} \), \( ON = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} · 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \). Сторона ромба \( KN \) является гипотенузой этого треугольника.

\( KN^2 = KO^2 + ON^2 \)

\( KN^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 \)

\( KN^2 = 16 + 16 · 3 \)

\( KN^2 = 16 + 48 = 64 \)

\( KN = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \).

3. Найдём полупериметр ромба (p):

Периметр ромба \( P = 4a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см} \).

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} \).

4. Найдём площадь круга (S):

Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \).

\( S = \pi · 4^2 = 16\pi \text{ см}^2 \).

Итоги:

• Полупериметр ромба \( p = 16 \text{ см} \).
• Радиус круга \( r = 4 \text{ см} \).
• Площадь круга \( S = 16\pi \text{ см}^2 \).

Ответ: p = 16 см; r = 4√1 см; S = 16π см².